Populációdinamika

A populációdinamika biológiai populációk méretének és összetételének időbeli változását modellezi. A tudományterület gyökerei nagyon régre nyúlnak vissza: az egyik legkorábbi populációdinamikai témájú munkának tekinthetjük Fibonacci 1202-es modelljét, amelyben egy nyúlpopuláció növekedését vizsgálja.

Fibonacci, más néven Leonardo di Pisa a Pisai Köztársaságban született 1170 körül. A fiatal Leonardo kereskedő édesapját 1192 körül a köztársaság a mai Algéria területére küldte, ahol hamarosan csatlakozott hozzá fia is, hogy kereskedőnek tanuljon. Itt ismerkedett meg a tízes számrendszerrel, amelyet az arabok Indiából vettek át. Földközi-tengeri üzleti utazásai során tanulmányozta a különböző számrendszereket és az arab matematikát. Miután visszatért Pisába, 1202-ben kiadta Liber abaci, vagyis Könyv a számtanról című könyvét, amelyben ismertette az új számrendszert és bemutatta annak különböző alkalmazásait pl. a kamatok kiszámításában, súlyok és pénz átváltásában, valamint az arabok által ismert algebrai és számtani eredmények jelentős részét. E könyvében ismertette azt a problémát, amelyet akár populációdinamikai problémának is tekinthetünk: egy embernek van egy nyúlpárja. Az szeretnénk tudni, hogy hány pár nyúl lesz n hónap múlva, ha feltételezzük, hogy az első hónapban csak egyetlen újszülött nyúlpár van, az újszülött nyúlpárok két hónap alatt válnak termékennyé, minden termékeny nyúlpár minden hónapban egy újabb párt szül éss a nyulak örökké élnek.

Ha bevezetjük a Pn jelölést a nyúlpárok számára az n-edik hónapban, akkor könnyen látható, hogy a Pn+1=Pn+Pn-1 rekurzív formula teljesül, hiszen az n+1-edik hónapban a nyúlpárok számát úgy kapjuk, hogy az n-edik hónap nyúlpárjainak számához hozzáadjuk az újonnan született nyúlpárok számát, ami nem más, mint a legalább két hónapos nyúlpárok száma, vagyis Pn-1. Ezek alapján könnyen megkaphatjuk a Pn sorozat első néhány tagját: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Fibonacci feladata hosszú időre feledésbe merült, a rekurzív sorozattal azonban - nyulak nélkül - számos tudós foglalkozott: például Kepler számos művében ír arról, hogy a Pn+1/Pn sorozat φ = (1+√ 5)/2-höz konvergál ha n tart a végtelenbe. Daniel Bernoulli 1728-ban a formulát kapta rekurzív sorozatok vizsgálata során. Fibonacci műveit a XIX. században adták ki újra, azóta nevezik a Pn sorozatot Fibonacci-sorozatnak.

Bár Fibonacci egy populáció méretét modellezte a feladattal, nyilvánvaló, hogy ez a modell nem túlságosan realisztikus, persze Fibonacci célja aligha ez volt.

Felhasznált irodalom:
[1] N. Bacaër, A Short History of Mathematical Population Dynamics, Springer, 2011
[2] Wikipédia, Fibonacci-számok