Populációdinamika

William Ogilvy Kermack 1898-ban született Skóciában. Az Aberdeeni Egyetemen tanult, majd Oxfordban végzett szerves kémiai kutatásokat. 1921-től az edinburgh-i Royal College of Physicians Laboratoryban dolgozott. Noha 1924-ben egy, az edinburgh-i laboratóriumában történt robbanás következtében teljesen megvakult, kollégéái és diákjai segítségével folytatta munkáját, és McKendrickkel közösen járványok matematikai modellezésén kezdett dolgozni. 1927-től kezdve több publikációban vizsgáltak determinisztikus járványtani modelleket.

Jelölje az N (elegendően nagy) szám egy populáció méretét. Tegyük fel (ahogy Kermack és McKendrick 1926-os cikkükben), hogy az emberek háromfélék lehetnek: fogékonyak, fertőzöttek vagy felgyógyultak. (Halálos kimenetelű betegség esetén a hármadik osztály a betegség áldozatait is jelentheti.) Jelöljük a három osztályba tartozó emberek számát a t időpontban S(t)-vel, I(t)-vel, illetve R(t)-vel. Modellünk legyegyszerűbb alakja a következő differenciálegyenlet-rendszer:Azaz az időegységenkénti új fertőzések száma arányos a fogékonyak és a fertőzöttek számával is. A járvány kezdetekor, a t=0 időpontban bizonyos számú fertőzött ember van: S(0)=N-I0, I(0)=I0, R(0)=0. Bár a fenti egyenlet megoldására nincs zárt formula, számos tulajdonsága igazolható:

• az össznépesség, azaz S(t)+I(t)+R(t) végig konstans (N) marad;
• S(t), I(t) és R(t) nemnegatívak;
• t→∞ esetén S(t) csökkenve tart egy pozitív S∞ értékhez, I(t) 0-hoz tart, R(t) pedig egy R∞<N értékhez tart monoton  növekvő módon.
• aképlet implicit módon megadja S∞-t és R∞-t.

Ha a fertőzöttek kezdeti száma, I0, kicsi az össznépesség méretéhez képest, az előző képletünket a következő formában is felírhatjuk:ahol definíció szerintAz előbbi egyenletnek csak akkor van pozitív megoldása, ha Ez alapján Kermack és McKendrick arra a következtetésre jutottak, hogy a járvány csak akkor fertőzi meg egy nem elhanyagolható hányadát a teljes népességnek, ha Akárcsak Ross maláriamodelljében, az feltétel könnyen interpretálható. Mivel aN a járvány kezdetekor egységnyi idő alatt egy fertőzött által megfertőzött emberek száma, 1/b pedig az ferzőzés átlagos időtartama, az egy fertőzött ember által okozott másodlagos fertőzések száma a járvány kezdetén.

Halálos betegségek esetén R(t) a halálozások össz-száma a járvány kezdete óta eltelt idő alatt, dR/dt pedig a halálesetek száma időegységenként. Kermack és McKendrick észrevették, hogy a dR/dt függvényt ábrázolva olyan harangalakot kapunk, amit egy járványgörbétől várunk. A dR/dt görbe t függvényében és a heti halálesetek száma egy bombayi pesitsjárvány során 1905-06-ban

Kermack és McKendrick egy általánosabb modellt is vizsgáltak, amelyben az a(x) fertőzékenység és a b(x) felgyógyulási ráta is függ a fertőzés óta eltelt x időtől. Az R∞-t megadó egyenlet ugyanaz, mint korábban, de most Azparamétert most is ugyanúgy értelmezhetjük, mint korábban.

Kermack és McKendrick számos további matematikai járványtani modellt alkottak meg az 1930-as években. Ezek a modellek képezik az alapjait a legbonyolultabb mai modelleknek is. Az paraméter - amelynek definícióját Diekmann, Heesterbeek és Metz általánosították 1990-ben - ma is központi szerepet játszik a járványtani modellek vizsgálatában.

Felhasznált irodalom:[1] Bacaër, N.: A Short History of Mathematical Population Dynamics, Springer, 2011